Mehmet Büyükekşi, 10 Mayıs 1961 tarihinde Gaziantep'te doğdu. Yıldız Teknik Üniversitesi Mimarlık Fakültesi'nden mezun olan Büyükekşi, iş hayatına inşaat sektöründe başladı.
1990 yılında kurduğu BJK İnşaat ile Türkiye'nin önde gelen inşaat şirketlerinden biri haline geldi.
Büyükekşi, iş hayatının yanı sıra spor camiasında da aktif rol aldı. 2008 yılında Galatasaray Spor Kulübü'nün kongre üyesi seçilen Büyükekşi, 2019 yılında Gaziantep Futbol Kulübü'nün başkanlığına seçildi.
Gaziantep FK'nin Süper Lig'e yükselmesinde önemli rol oynayan Büyükekşi, 2021 yılında kulüp başkanlığından ayrıldı.
Mehmet Büyükekşi, 30 Mayıs 2022 tarihinde Türkiye Futbol Federasyonu başkanlığına adaylığını açıkladı. Tek aday olarak girdiği seçimde 158 oyla Türkiye Futbol Federasyonu'nun 59. başkanı seçildi.